矩阵取数游戏

可以使用动态规划或分治算法解决。动态规划其实本质是递归和分治，不同的是动态规划具有最优的子结构。

题目

小明经常玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n x n的矩阵，矩阵中的每个元素aij表示该格子的价值，均为非负整数。游戏规则如下：

小明从左上角走到右下角，只能向下向右走，经过某个格子，就能获得格子相应价值的奖励，

请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大奖励值。

输入格式:

输入包括n+1行：

第1行为一个整数n。(2 <= n <= 500)

第2~n+1行为nxn矩阵，其中每行有n个用单个空格隔开的非负整数。（0 <= aij <= 10000)

输出格式:

仅包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

3
1 3 3
2 1 3
2 2 1

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

11

题解

分治算法

分治法主要将一个问题分解为子问题，子问题的解组成答案的解。这道题可以将当前路径的最大值分解为右面最大值或下面最大值+当前节点的值，递归求解。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<vector<int>> vec(501, vector<int>(501));
vector<vector<int>> dp(501, vector<int>(501, -1));
int ans = 0, N;
int work(int i, int j) {
  if (dp[i][j] != -1) {//记忆化数组
    return dp[i][j];
  }
  if(i==N||j==N){ //边界条件
    dp[i][j]=0;
    return 0;
  }
  dp[i][j]=max(work(i + 1, j), work(i, j + 1))+vec[i][j];//下面或者右面
  return dp[i][j];
}
int main() {
  int n;
  cin >> n;
  N = n;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
      cin >> vec[i][j];
    }
  }
  cout<<work(0,0);
  system("pause");
}

动态规划

最优解的性质，按行扫描，当前节点的最大值等于max（上一行中的最大值，左侧的最大值）+当前节点。

/*
  动态规划
  1.dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+a[i][j]
*/
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;


int main(){

  int n;
  cin>>n;
  vector<vector<int>> a(n+1,vector<int>(n+1)),dp(n+1,vector<int>(n+1,0));
  for(int i=1;i<n+1;i++){
    for(int j=1;j<n+1;j++){
      scanf("%d",&a[i][j]);
    }
  }
  
  for(int i=1;i<n+1;i++){
    for(int j=1;j<n+1;j++){
        dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+a[i][j];
    }
  }
  cout<<dp[n][n];
  system("pause");
}