算法

浅谈手写堆

简单的说一说手写堆的一些操作以及运用

1.定义

堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。

2.性质

1.堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。

2.堆总是一棵完全二叉树。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。

堆是非线性数据结构,相当于一维数组,有两个直接后继。

3.应用思路(手写堆)以最小堆为例

以最小堆为例

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先把数组中的数储存起来

很显然最小的数就在堆顶,假设存储这个堆的数组叫做h的话,最小数就是h[1]。接下来,我们将堆顶的数删除,并将新增加的数23放到堆顶。显然加了新数后已经不符合最小堆的特性,我们需要将新增加的数调整到合适的位置。那如何调整呢?

我们可以将它和它的两个儿子进行比较,将儿子小的置为堆顶即可,然后依次下调

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那如果是要新添加一个数,又如何操作呢?

同前面的,我们可以将新的点加到堆尾,然后上调与它的父节点比较即可。

代码(以大根堆为例)

小根堆的操作放在文章末尾

1.堆的元素下调
void shiftdownmax(int x){
    int t,flag=0;
    while(x*2<=addmax&&flag==0){
        if(maxn[x]<maxn[x*2])t=x*2;
        else t=x;
        if(x*2+1<=addmax){
            if(maxn[t]<maxn[x*2+1])t=x*2+1;
        }
        if(t!=x){
            swap(maxn[t],maxn[x]);
            x=t;
        }else flag=1;
    }
}
2.堆的元素上调
void shiftdownmax(int x){
    int t,flag=0;
    while(x*2<=addmax&&flag==0){
        if(maxn[x]<maxn[x*2])t=x*2;
        else t=x;
        if(x*2+1<=addmax){
            if(maxn[t]<maxn[x*2+1])t=x*2+1;
        }
        if(t!=x){
            swap(maxn[t],maxn[x]);
            x=t;
        }else flag=1;
    }
}
3.建堆
for(int i=1;i<=n;++i){
	addmax++;
	maxn[addmax]=a[i];
}
for(int i=addmax/2;i>=1;--i){
	shiftdownmax(i);
}
4.取出元素

取出第一个元素将最后一个元素放在第一个元素的位置,并且元素个数减1,对堆顶进行下调操作。

int y=maxn[1];
maxn[1]=maxn[addmax--];
shiftdownmax(1);
5.加入元素
maxn[++addmax]=x;
shiftupmax(addmax);

4.例题

合并果子

题意

在一个果园里,多多已经将所有的果子打了下来,而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并,多多可以把两堆果子合并到一起,消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出,所有的果子经过n-1次合并之后,就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家,所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1,并且已知果子的种类数和每种果子的数目,你的任务是设计出合并的次序方案,使多多耗费的体力最少,并输出这个最小的体力耗费值。

例如有3种果子,数目依次为1,2,9。可以先将1、2堆合并,新堆数目为3,耗费体力为3。接着,将新堆与原先的第三堆合并,又得到新的堆,数目为12,耗费体力为12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。

思路阐述

堆的入门题,我们只要建立一个最小堆,然后依次取出堆顶2次,将其合并之后再放入堆中即可。

代码实现
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,a[100005],add,p,q,sum,ans=0; 
void shiftdown(int x){
    int t,flag=0;
    while(x*2<=add && flag==0){
        if(a[x]>a[x*2])t=x*2;
        else t=x;
        if(x*2+1<=add){
            if(a[t]>a[x*2+1])t=x*2+1;
        }
        if(t!=x){
            swap(a[t],a[x]);
            x=t;
        }else flag=1;
         
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    add=n;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=n/2;i>=1;i--){
        shiftdown(i);
    }
    for(int i=1;i<=n-1;++i){
        p=a[1];
        a[1]=a[add];
        add--;
        shiftdown(1);
        q=a[1];
        sum=q+p;
        a[1]=sum;
        shiftdown(1);
        ans=ans+sum;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

5.习题

[TJOI2010]中位数

洛谷P1792 [国家集训队]种树

NOIP 2016 蚯蚓


关于堆的一些操作

1.小根堆向下调整
void shiftdownmin(int x){
    int t,flag=0;
    while(x*2<=addmin&&flag==0){
        if(minn[x]>minn[x*2])t=x*2;
        else t=x;
        if(x*2+1<=addmin){
            if(minn[t]>minn[x*2+1])t=x*2+1;
        }
        if(t!=x){
            swap(minn[t],minn[x]);
            x=t;
        }else flag=1;
    }
}
2.小根堆向上调整
void shiftupmin(int x) {
    int flag=0; 
    if(x==1) return; 
    while(x!=1 && flag==0){
        if(minn[x]<minn[x/2]) swap(minn[x],minn[x/2]);
        else flag=1;
        x=x/2;
    }
}
3.大根堆向下调整
void shiftdownmax(int x){
    int t,flag=0;
    while(x*2<=addmax&&flag==0){
        if(maxn[x]<maxn[x*2])t=x*2;
        else t=x;
        if(x*2+1<=addmax){
            if(maxn[t]<maxn[x*2+1])t=x*2+1;
        }
        if(t!=x){
            swap(maxn[t],maxn[x]);
            x=t;
        }else flag=1;
    }
}
4.大根堆向上调整
void shiftupmax(int x) {
    int flag=0; 
    if(x==1) return; 
    while(x!=1&&flag==0){
        if(maxn[x]>maxn[x/2]) swap(maxn[x],maxn[x/2]);
        else flag=1;
        x=x/2;
    }
}

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